La vitesse de libération est la vitesse minimale qu'un objet doit avoir pour s'échapper complètement d'un astre. Elle est directement liée à la force gravitationnelle de l'astre qui a tendance à attirer l'objet en son centre. En d'autres termes, cette vitesse est la vitesse minimale requise à l'impulsion d'un objet pour qu'il puisse s'échapper de l'attraction gravitationnelle de l'astre auquel il est posé.

Cette vitesse peut être calculée.

Plaçons nous à la place de l'objet qui servira pour l'expérience. Puisqu'il n'y a que la gravité de l'astre qui influence son mouvement (la gravité est une force conservatrice : elle est indépendante du chemin suivi par l'objet), nous pouvons dire que nous sommes dans un référentiel galiléen. Dans ce référentiel, l'énergie mécanique de l'objet reste constante. L'énergie mécanique correspond à l'énergie cinétique \({\large{E_c={\frac{1}{2}}mv^2}}\) (c'est l'énergie que contient un corps en mouvement). Si la vitesse est nulle, alors \({E_c=0}\) et l'énergie potentielle mécanique \({\large{E_p={\frac{-GMm}{D}}}}\), qui correspond à l'énergie qu'à un corps lorsqu'il est soumis à une force conservatrice. Ici, nous avons la gravité de l'astre comme force conservatrice, ce qui implique que l'énergie potentielle de l'objet a tendance à l'amener vers le centre de l'astre et à le « freiner ».

Tout ça avec \({\large{m}}\) la masse de l'objet, \({\large{M}}\) la masse de l'astre, \({\large{v}}\) la vitesse qu'a l'objet, \({\large{D}}\) la distance objet-astre et la constante gravitationnelle \({G\simeq6,6742.10^{-11}N.m^2.kg^{-2}}\).

Nous allons prendre une vitesse de l'objet telle qu'elle soit le minimum requis pour sortir de la gravité de l'astre, soit la vitesse de libération de l'astre lui-même. On définit alors deux positions. La position initiale \({\large{p_i}}\) et la position finale \({\large{p_f}}\).

À la position finale, la vitesse de l'objet sera par définition nulle (car la vitesse que nous cherchons nous amène à chercher la minimale requise pour sortir) donc \({E_c(pf)=0}\). De plus, l'énergie potentielle, qui dépend de la gravité qui sera par définition enlevée puisqu'on lui aura échappé, sera analogiquement \({E_c(pf)=0}\).

D'après la loi de conservation de l'énergie, l'énergie mécanique de l'objet à la position initiale et celle à la position finale est la même. On obtient donc cette égalité : \[{\LARGE{E_c(pi)+E_p(pi)=E_c(pf)+E_p(pf)={\frac{1}{2}}mv_i^2-{\frac{GMm}{R_i}}=0}}\]

On pose \({D=R_i}\) car la position initiale qui nous intéresse ici est la surface de l'astre, pour appliquer la formule finale à un engin spatial par exemple ( \({\large{R}}\) étant le rayon de l'astre).

On simplifie alors grâce aux masses \({\large{m}}\) , et on obtient enfin la vitesse de libération : \[{\LARGE{v_l={\sqrt{\frac{2GM}{R_i}}}}}\]

Pour connaître la vitesse que devra avoir l'objet s'il est lancé plus haut que la surface de l'astre, on fait \({\large{{+}d}}\) au dénominateur, \({\large{d}}\) étant la distance de l'objet à la surface de l'astre. On aura alors : \[{\LARGE{v_l={\sqrt{\frac{\large{2GM}}{R+d}}}}}\]

On peut maintenant appliquer. On calculera ainsi la vitesse de libération de la Terre, de Mars, de la Lune et enfin du Soleil à leurs surfaces respectives, même si aller à la surface du Soleil semble complètement invraisemblable (ce qui ferait un bon sujet de TPE...).

Pour la Terre :

\[v_l=\sqrt{\frac{2GM}{R_i}}=\sqrt{\frac{2(6,674*10^{-11}*5,972*10^{24})}{6371*10^3}}{\simeq11185,2m.s^{-1}}<=>{v_l\simeq11,2km.s^{-1}}\]

Pour Mars : 

\[v_l=\sqrt{\frac{2GM}{R_i}}=\sqrt{\frac{2(6,674*10^{-11}*6,39*10^{23})}{3390*10^3}}{\simeq5016m.s^{-1}}<=>{v_l\simeq5,0km.s^{-1}}\]

 Analogiquement pour le Soleil, on trouve que \({v_l=617,5km.s^{-1}}\)

et sur la Lune on trouve \({v_l=2,4km.s^{-1}}\) .

vitesse libe